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2019年全国Ⅲ卷理科15题的多解及推广*

来源:中学理科园地 【在线投稿】 栏目:期刊导读 时间:2021-01-05
作者:网站采编
关键词:
摘要:一、问题再现 问题(2019年全国卷Ⅲ理科15题)设F1,F2为椭圆的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的坐标为. 二、问题解决 问题解决常常被看作是能动的、不

一、问题再现

问题(2019年全国卷Ⅲ理科15题)设F1,F2为椭圆的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.

二、问题解决

问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程,是数学思维不断数学化的过程,是一个探索、发现、创新的过程.[1]从不同角度解决问题,有助于学生多角度认识问题,发展求异思维.

分析1:由椭圆方程得,F1(-4,0),F2(4,0),|F1F2|=8.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第一象限,则|MF1|=|F1F2|=8,|MF2|=4.

思路1:(定义法)设M(x0,y0),由椭圆的第二定义得则x0=3,易得M的坐标为

思路2:(面积法)设M(x0,y0),ΔMF1F2的面积为即所以M的坐标为

思路3:(三角法)设则所以M的坐标为

分析2:问题涉及椭圆上点到左焦点的距离,联想到极坐标方程

思路4 极坐标方程法不妨设极点为左焦点,由题意可知a=6,c=4,于是则ρ=8.设M(x0,y0),结合分析1可知所以x0=3,故M的坐标为

点评:分析1对应的是最简单的方法,也是最容易想到的办法,分析2对应的方法有助于深入思考问题.

三、问题推广

张景中院士指出:“推广是数学研究中极其重要的手段之一,数学自身的发展在很大程度上依赖于推广.数学家总是在已有知识的基础上,向未知的领域扩展,从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题.”[2]

分析1:将问题推广到一般方程.

推广1设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,M为C上一点且在第一象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的横坐标为将横坐标代入椭圆中,即得纵坐标,为了方便,下文的推广不具体写出纵坐标)

证明:易得F1(-c,0),F2(c,0),|F1F2|=2c.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第一象限,则|MF1|=|F1F2|=2c,|MF2|=2a-2c.由题意可知设左焦点为极点,则化简得设M(x0,y0),所以x0=ρcosθ-c,解得所以M的横坐标为

分析2:如果点M为椭圆C上一点且在第二、三、四象限,问题的结果又会怎样变化呢?

推广2 设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,M为C上一点且在第二、三象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的横坐标为

证明:易得F1(-c,0),F2(c,0),|F1F2|=2c.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第二象限,则|MF2|=|F1F2|=2c,|MF1|=2a-2c.由题意可知设右焦点为极点,则化简得设M(x0,y0),所以x0=c-ρcosθ,解得所以M的横坐标为

推广3设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,M为C上一点且在第四象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的横坐标为

分析3:如果长轴在y轴上,结果又会怎样变化呢?

推广4设F1,F2分别是椭圆的上下焦点,M为C上一点且在第一、二象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的纵坐标为

证明:易得F1(0,c),F2(0,-c),|F1F2|=2c.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第一、二象限,则|MF2|=|F1F2|=2c,|MF1|=2a-2c.由题意可知设下焦点为极点,则化简可知设M(x0,y0),所以y0=ρsinθ-c,解得所以M的纵坐标为

推广5设F1,F2分别是椭圆的上下焦点,M为C上一点且在第三、四象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的纵坐标为

证明:易得F1(0,c),F2(0,-c),|F1F2|=2c.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第三、四象限,则|MF1|=|F1F2|=2c,|MF2|=2a-2c.由题意可知设上焦点为极点,则化简可知设M(x0,y0),所以y0=c-ρsinθ,解得所以M的纵坐标为

分析4:问题的背景为双曲线,结果又将如何变化呢?

推广6设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,M为C上一点且在第一、四象限.若

|F1F2|=|MF2|,则M的横坐标为

推广7设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,M为C上一点且在第二、三象限.若

|F1F2|=|MF1|,则M的横坐标为

推广8设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,M为C上一点且在第一、二象限.若

|F1F2|=|MF1|为等腰三角形,则M的纵坐标为

推广9设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,M为C上一点且在第三、四象限.若

|F1F2|=|MF2|为等腰三角形,则M的纵坐标为

点评:立足成立条件、结构及解决方法将原问题进行推广,对培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有积极意义.

[1]喻平等.中国数学教育心理研究30年[M].北京:科学出版社,2011.

[2]朱华伟,张景中.论推广[J].数学通报,2005,44(4):55-57.

一、问题再现问题(2019年全国卷Ⅲ理科15题)设F1,F2为椭圆的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.二、问题解决问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程,是数学思维不断数学化的过程,是一个探索、发现、创新的过程.[1]从不同角度解决问题,有助于学生多角度认识问题,发展求异思维.分析1:由椭圆方程得,F1(-4,0),F2(4,0),|F1F2|=8.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第一象限,则|MF1|=|F1F2|=8,|MF2|=4.思路1:(定义法)设M(x0,y0),由椭圆的第二定义得则x0=3,易得M的坐标为思路2:(面积法)设M(x0,y0),ΔMF1F2的面积为即所以M的坐标为思路3:(三角法)设则所以M的坐标为分析2:问题涉及椭圆上点到左焦点的距离,联想到极坐标方程思路4 极坐标方程法不妨设极点为左焦点,由题意可知a=6,c=4,于是则ρ=8.设M(x0,y0),结合分析1可知所以x0=3,故M的坐标为点评:分析1对应的是最简单的方法,也是最容易想到的办法,分析2对应的方法有助于深入思考问题.三、问题推广张景中院士指出:“推广是数学研究中极其重要的手段之一,数学自身的发展在很大程度上依赖于推广.数学家总是在已有知识的基础上,向未知的领域扩展,从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题.”[2]分析1:将问题推广到一般方程.推广1设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,M为C上一点且在第一象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的横坐标为将横坐标代入椭圆中,即得纵坐标,为了方便,下文的推广不具体写出纵坐标)证明:易得F1(-c,0),F2(c,0),|F1F2|=2c.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第一象限,则|MF1|=|F1F2|=2c,|MF2|=2a-2c.由题意可知设左焦点为极点,则化简得设M(x0,y0),所以x0=ρcosθ-c,解得所以M的横坐标为分析2:如果点M为椭圆C上一点且在第二、三、四象限,问题的结果又会怎样变化呢?推广2 设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,M为C上一点且在第二、三象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的横坐标为证明:易得F1(-c,0),F2(c,0),|F1F2|=2c.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第二象限,则|MF2|=|F1F2|=2c,|MF1|=2a-2c.由题意可知设右焦点为极点,则化简得设M(x0,y0),所以x0=c-ρcosθ,解得所以M的横坐标为推广3设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,M为C上一点且在第四象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的横坐标为分析3:如果长轴在y轴上,结果又会怎样变化呢?推广4设F1,F2分别是椭圆的上下焦点,M为C上一点且在第一、二象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的纵坐标为证明:易得F1(0,c),F2(0,-c),|F1F2|=2c.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第一、二象限,则|MF2|=|F1F2|=2c,|MF1|=2a-2c.由题意可知设下焦点为极点,则化简可知设M(x0,y0),所以y0=ρsinθ-c,解得所以M的纵坐标为推广5设F1,F2分别是椭圆的上下焦点,M为C上一点且在第三、四象限.若ΔMF1F2为等腰三角形,则M的纵坐标为证明:易得F1(0,c),F2(0,-c),|F1F2|=2c.因为ΔMF1F2为等腰三角形,M为C上一点且在第三、四象限,则|MF1|=|F1F2|=2c,|MF2|=2a-2c.由题意可知设上焦点为极点,则化简可知设M(x0,y0),所以y0=c-ρsinθ,解得所以M的纵坐标为分析4:问题的背景为双曲线,结果又将如何变化呢?推广6设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,M为C上一点且在第一、四象限.若|F1F2|=|MF2|,则M的横坐标为推广7设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,M为C上一点且在第二、三象限.若|F1F2|=|MF1|,则M的横坐标为推广8设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,M为C上一点且在第一、二象限.若|F1F2|=|MF1|为等腰三角形,则M的纵坐标为推广9设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,M为C上一点且在第三、四象限.若|F1F2|=|MF2|为等腰三角形,则M的纵坐标为点评:立足成立条件、结构及解决方法将原问题进行推广,对培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有积极意义.参考文献[1]喻平等.中国数学教育心理研究30年[M].北京:科学出版社,2011.[2]朱华伟,张景中.论推广[J].数学通报,2005,44(4):55-57.

文章来源:《中学理科园地》 网址: http://www.zxlkyd.cn/qikandaodu/2021/0105/593.html



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